MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [1.305]

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$\psi ^{*}$

$[$ $\psi ^{*}$ $G$ * $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $/$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ +

$+$ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES DE CAMPOS E ENERGIAS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE INTERAÇÕES DE CAMPOS. EM ;

MECÂNICA GRACELI REPRESENTADA POR TRANSFORMADA.

dd = dd [G] = DERIVADA DE DIMENSÕES DE GRACELI.

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$

G { f [dd]} ´[d] $\psi ^{*}$ $\hbar$ $\psi$ $f [d] G*$ $T_{\mu \nu }$ $\psi$ $dd [G]$

O ESTADO QUÂNTICO DE GRACELI

- [ $G*$ $\hbar$ $.$ $\psi$ $\left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigg (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\bigg )},$ ]

$G* = DIMENSÕES DE GRACELI TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO COM INTERAÇÕES DE ENERGIAS, QUÂNTICAS, RELATIVÍSTICAS, , E INTERAÇÕES DE CAMPOS.$

o tensor energia-momento $T_{\mu \nu }$ é aquele de um campo eletromagnético,

/ $G$ * $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ $T_{\mu \nu }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$G$ $E=mc^{2}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$/$ $G$ $E=mc^{2}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Em mecânica estatística, a estatística de Maxwell–Boltzmann descreve a distribuição estatística de partículas materiais em vários estados de energia em equilíbrio térmico, quando a temperatura é alta o suficiente e a densidade é baixa suficiente para tornar os efeitos quânticos negligenciáveis. A estatística Maxwell–Boltzmann é consequentemente aplicável a quase qualquer fenômeno terrestre para os quais a temperatura está acima de poucas dezenas de kelvins.^[1]^[2]

O número esperado de partículas com energia $\epsilon _{i}$ para a estatística de Maxwell–Boltzmann é $N_{i}$ onde:

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

onde:

$N_{i}$ é o número de partículas no estado i
$\epsilon _{i}$ é a energia do estado i-ésimo
$g_{i}$ é a degenerescência do nível de energia i, o número de estados dos partículas (excluindo o estado de "partícula livre") com energia $\epsilon _{i}$
$\mu$ é o potencial químico
$�$ é a constante de Boltzmann
$�$ é a temperatura absoluta
$�$ é o número total de partículas

N=\sum _{i}N_{i}\,

$/$

$G$

E=mc^{2}

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$�$ é a função partição

Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}

$/$

$G$

E=mc^{2}

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$e^{(...)}$ é a função exponencial, sendo e o número de Euler

A distribuição de Maxwell-Boltzmann tem sido aplicada especialmente à teoria cinética dos gases, e outros sistemas físicos, além de em econofísica para predizer a distribuição da renda. Na realidade a distribuição de Maxwell-Boltzmann é aplicável a qualquer sistema formado por N "partículas" ou "indivíduos" que interacambiam estacionariamente entre si uma certa magnitude $�$ e cada um deles têm uma quantidade $m_{i}$ da magnitude $�$ e ao longo do tempo ocorre que $\sum _{i=1}^{N}M=m_{1}+m_{2}+...+m_{N}$ .

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Quando os níveis de energia são muito próximos, de modo que podemos considerar que formam um contínuo, o número médio de partículas com energia entre $\epsilon$ $\epsilon$ e $\epsilon +d\epsilon$ $\epsilon +d\epsilon$ , pode ser escrito como^[5]

n(\epsilon )=g(\epsilon )F(\epsilon )d\epsilon

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Onde $g(\epsilon )$ $g(\epsilon )$ é a densidade de estados, de modo que $g(\epsilon )d\epsilon$ $g(\epsilon )d\epsilon$ fornece o número de estados com energia entre $\epsilon$ $\epsilon$ e $\epsilon +d\epsilon$ $\epsilon +d\epsilon$ . E $F(\epsilon )$ $F(\epsilon )$ é a chama função de Fermi, dada por^[5]

$F(\epsilon )={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}}$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Em um sistema quântico constituído de muitas partículas idênticas com spin inteiro, a estatística de Bose-Einstein, ou estatística BE, é utilizada para descrever o sistema e calcular os valores médios das grandezas físicas.

Em um sistema de $�$ bósons idênticos de massa $�$ , que possuem interação mútua desprezível, contidos em um recipiente de volume $�$ , a uma temperatura $�$ , em equilíbrio, o número médio de partículas ${\bar {n}}_{s}$ num estado de energia $�$ é dado por

${\bar {n}}_{s}={\frac {g_{s}}{e^{\beta (\epsilon _{s}-\mu )}-1}}$ ,

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

em que $g_{s}$ é a degenerescência quântica do estado $�$ , $\epsilon _{s}$ é a energia do estado $�$ , $\mu$ é o potencial químico, e $\beta =1/k_{B}T$ , em que $k_{B}$ é a constante de Boltzmann^[1].

Gás de fótons

Um caso especial da estatística de Bose-Einstein é o gás de fótons. Fótons possuem spin inteiro igual a 1, então desta forma são considerados bósons. O caso é especial devido ao fato de que se considerarmos vários fótons dentro de um recipiente com volume V, o número destes fótons não será constante, pois conforme estes fótons interagem com as paredes do recipiente estes são absorvidos ou emitidos. Desta forma, não podemos impor um vínculo ao número total de fótons no sistema. Neste caso, precisaremos realizar as somas sobre todos os possíveis números de partículas em cada estado, da forma^[6]:

$n_{r}=0,1,2,3,...$ para todo r.

A função partição para o gás de fótons é dada por:

$Z=\sum _{R}e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+...)}$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

No qual R são todos os estados possíveis do gás. Como não há vínculos agora para o número de partículas por estado, podemos utilizar as propriedades das funções exponenciais e reescrever a soma acima como:

$Z=\sum _{n_{1},n_{2},...}e^{-\beta n_{1}\varepsilon _{1}}e^{-\beta n_{2}\varepsilon _{2}}...$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Ou ainda:

$Z=\left(\sum _{n_{1}=0}^{\infty }e^{-\beta n_{1}\varepsilon _{1}}\right)\left(\sum _{n_{2}=0}^{^{\infty }}e^{-\beta n_{2}\varepsilon _{2}}\right)...$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Como não há restrição para o número de fótons, as somas acima são consideradas até um número muito grande de partículas por estado de energia, no qual matematicamente isto se traduz a realizarmos a soma até o infinito, embora fisicamente, estejamos carregando a soma até um número muito grande de partículas. Como estamos tratando de uma exponencial com argumento negativo, após um certo valor os termos serão desprezíveis, não tendo problemas com divergências. Se olharmos com cuidado para as somas dentro dos colchetes acima, percebe-se que podemos escrevê-las como abaixo:

$\sum _{n_{1}=0}^{\infty }e^{-\beta n_{1}\varepsilon _{1}}=1+e^{-\beta \varepsilon _{1}}+e^{-2\beta \varepsilon _{1}}+...=\left({\frac {1}{1-e^{-\beta \varepsilon _{1}}}}\right)$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Ou seja, cada termo é uma soma geométrica. Assim, podemos reescrever a função partição da seguinte forma:

$Z=\left({\frac {1}{1-e^{-\beta \varepsilon _{1}}}}\right)\left({\frac {1}{1-e^{-\beta \varepsilon _{2}}}}\right)...$

E o logaritmo natural da função partição, que é o qual estamos interessados é dado por:

$\ln {Z}=-\sum _{r}\ln {(1-e^{-\beta \varepsilon _{r}})}$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Nosso próximo objetivo agora é encontrar o número médio de partículas em um estado de energia $\varepsilon _{s}$ . Tal resultado pode ser obtido através da expressão abaixo^[6]:

${\bar {n_{s}}}=-{\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial \ln {Z}}{\partial \varepsilon _{s}}}$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Realizando a derivação do logaritmo natural da função partição, temos o resultado abaixo:

${\bar {n_{s}}}={\frac {e^{-\beta \varepsilon _{s}}}{1-e^{-\beta \varepsilon _{s}}}}$

O resultado acima é este pois a única derivada que não é zero é o termo da soma no qual $r=s$ . Podemos simplificar o resultado acima, multiplicando e dividindo a expressão acima pela exponencial com o mesmo argumento, porém positivo, e assim obtemos o importante resultado dado por:

${\bar {n_{s}}}={\frac {1}{e^{\beta \varepsilon _{s}-1}}}$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Este resultado é conhecido como a distribuição de Planck, e fornece o número médio de fótons em um determinado estado s. Uma das aplicações mais famosas do resultado acima é no problema da radiação de corpo negro.

Radiação de corpo negro

Ver artigo principal: Radiação de corpo negro

Todo corpo a uma temperatura $�$ emite radiação eletromagnética. A distribuição de Planck fornece o espectro de emissão para uma classe especifica de corpos, os chamados corpos negros, definidos como os corpos que absorvem toda a radiação incidente. Pode-se modelar um corpo negro como uma cavidade metálica com volume $�$ , tal que haja apenas um pequeno orifício em uma de suas paredes. Logo, esta cavidade absorve toda a radiação que entra por ali, e radiação emitida pelo orifício que é oriunda das emissões a partir das superfícies internas da cavidade se comporta como se fosse um corpo negro.^[7]

Busca-se a chamada radiância espectral $R_{T}(f)df$ , que fornece a potência irradiada por unidade de área com frequência entre $�$ e $f+df$ pelo corpo estudado a uma data temperatura. Através de uma análise física do problema, pode-se mostrar que a radiância espectral está diretamente ligada com a densidade de energia dentro da cavidade. A relação entre as duas grandezas é dada por:

$R_{T}(f)={\frac {c}{4}}u_{T}(f)$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Pode-se então obter a densidade de energia, e assim resolve-se o problema da mesma maneira. A densidade de energia pode ser obtida a partir da probabilidade de um nível com energia $\varepsilon _{s}$ estar ocupado por $n_{s}$ fótons, sendo assim se multiplicarmos este valor pelo número de médio fótons por unidade de volume naquele estado, teremos a densidade de energia dentro desta cavidade na forma:^[8]

$u_{T}(\varepsilon )={g(\varepsilon ){\bar {\varepsilon _{s}}}}$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Onde $g(\varepsilon )$ é a densidade de estados ou degenerescência. Como temos o número médio de fótons em um estado $�$ , basta multiplicar este número pela energia do estado $�$ , assim:

${\bar {\varepsilon _{s}}}={\frac {\varepsilon _{s}}{e^{\beta \varepsilon _{s}}-1}}$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Como os estados do sistema estão muito próximos um dos outros, por conta da cavidade ocupar um volume V macroscópico, podemos tratar as variáveis como sendo contínuas. O número de estados por unidade de volume dentro da cavidade com frequência entre $�$ e $f+df$ é dada por:^[9]

$g(f)df={\frac {8\pi }{c^{3}}}f^{2}df$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Sabemos que a energia e a frequência de um fóton estão ligado pela expressão de Planck $E=hf$ , desta forma se fizermos a substituição sugerida, obtemos assim a expressão para a densidade de energia dentro de uma cavidade.

$u_{T}(f)={\frac {8\pi h}{c^{3}}}{\frac {f^{3}}{e^{\frac {hf}{kT}}-1}}$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

E a radiância espectral é dada diretamente por:

$R_{T}(f)={\frac {2\pi h}{c^{2}}}{\frac {f^{3}}{e^{\frac {hf}{kT}}-1}}$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Todo o caminho feito para o obtenção do resultado foi a partir da análise das propriedades quânticas e estatísticas de fótons dentro de um volume V, e em equilíbrio térmico a uma temperatura T. Pode-se chegar no mesmo resultado analisando a interação da radiação eletromagnética dentro do volume V com as paredes do recipiente^[10].

Comparação entre as estatísticas

Comparação das distribuições de Maxwell-Boltzmann (MB), Bose-Einstein (BE) e Fermi-Dirac (FD).

Influência do potencial químico na distribuição BE.

Influência da temperatura na distribuição de BE.

Nota-se que um sistema de bósons possui uma maior ocupação dos estados, devido aos efeitos quânticos de simetria da função de onda do sistema ^[11]. Nesta distribuição identifica-se que para o regime $(\epsilon -\mu )/kT>>1$ as distribuições quânticas de Bose-Einstein (BE) e Fermi-Dirac (FD) se aproximam da distribuição clássica de Maxwell-Boltzmann (MB), que representa o regime de baixas densidades e altas temperaturas, ou seja, o limite clássico ^[12].

Em diferentes valores do potencial químico, nota-se que os estados de menor energia (próximos ao estado fundamental) são os mais populados. Para baixas temperaturas as partículas se concentram nos estados de menor energia. No limite de temperatura tendendo a zero, todas as partículas vão para o estado fundamental ( $s=1$ ), logo, ${\bar {n}}_{1}\approx N$ enquanto ${\bar {n}}_{s}\approx 0$ para os demais estados ^[13]. Já para altas temperaturas, devido à energia térmica do sistema, as partículas tem maior probabilidade de atingir estados mais energéticos.

Condensação de Bose-Einstein

O condensado de Bose-Einstein é uma fase da matéria formada por bósons a uma temperatura muito próxima do zero absoluto. Nestas condições, uma grande fração de átomos atinge o mais baixo estado quântico, e nestas condições os efeitos quânticos podem ser observados em escala macroscópica. Sistemas em baixa temperatura ou com densidade relativamente alta de partículas são mais prováveis de apresentarem comportamentos quânticos, mesmo em sistemas onde a interação intramolecular é desprezível^[14].

Temperatura crítica para um gás ideal de bósons

Um gás ideal de bósons não está sujeito ao princípio de exclusão de Pauli. Logo, os bósons podem se condensar no seu estado de menor energia. A densidade de estados $g(\epsilon )$ é dada por,

$g(\epsilon )={\frac {V}{4\pi ^{2}}}{\frac {(2m)^{\frac {3}{2}}}{\hbar ^{3}}}\epsilon ^{1/2}$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Logo, o número de partículas $�$ pode ser reescrito como

$N=\int _{0}^{\infty }{\frac {g(\epsilon )}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}d\epsilon$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

A distribuição continua pode ser utilizada pois os níveis do sistema quântico discreto são numerosos e estão muito próximos. Portanto,

$N={\frac {V}{4\pi ^{2}}}{\frac {(2m)^{\frac {3}{2}}}{\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{1/2}}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}d\epsilon$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Porém, como a integração dar-se-á de $\epsilon =0$ , a informação do estado fundamental é perdida. Todavia, quando a temperatura do sistema diminui, o potencial químico aumenta, e o número de partículas no estado fundamental é dada por ^[15]

$N_{0}={\frac {1}{e^{-\beta \mu }-1}}$

Seja o número de partículas em estados excitados dado por $N_{e}$ , temos

$N=N_{0}+N_{e}$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

$N={\frac {1}{e^{-\beta \mu }-1}}+{\frac {V}{4\pi ^{2}}}{\frac {(2m)^{\frac {3}{2}}}{\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{1/2}}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}d\epsilon$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Porém, para temperaturas muito próximas de zero $N\approx N_{0}$ , ou seja,

$N\approx {\frac {1}{e^{-{\frac {\mu }{kT}}}-1}}$

Variação da temperatura de No/N (preto) e de Ne/N (vermelho) para uma gás ideal de bósons.

E, considerando $�$ grande,

$-{\frac {\mu }{kT}}\approx \ln \left(1+{\frac {1}{N}}\right)\approx {\frac {1}{N}}$

$/$ $G$ $E=mc^{2}$ ] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Logo, $e^{-\mu /kT}\approx 1$ . E $N_{e}$ se torna,

$N_{e}={\frac {V}{4\pi ^{2}}}{\frac {(2m)^{\frac {3}{2}}}{\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\epsilon ^{1/2}}{e^{\beta \epsilon }-1}}d\epsilon$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Introduzindo a mudança de variável $x=\beta \epsilon$ , temos

$N_{e}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}V\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{1/2}}{e^{x}-1}}d\epsilon$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

A integral pode ser escrita em termos da função gama $\Gamma (x)$ e da função zeta de Riemann $\zeta (x)$ . De fato, ela é igual a $\Gamma (3/2)\zeta (3/2)$ , onde $\Gamma (3/2)={\sqrt {\pi }}/2$ , logo,

$N_{e}=\zeta (3/2)V\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}$

$/$ $G$

E=mc^{2}

] $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

A temperatura crítica, ou de Bose-Einstein, $T_{c}$ , é a temperatura em que acima dela todos os bósons estão em um estado excitado, e pode ser encontrada tomando $N=N_{e}$ , onde $T=T_{c}$ , assim, da última equação,